Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b =1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a) A = a^2 + b^2
b) B = a^2 - ab + b^2
xét hai số thực dương a,b thỏa mãn \(a^2\)+\(b^2\)=2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\dfrac{a^2}{b+1}\)+\(\dfrac{b^2}{a+1}\)
Ta thấy \(ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}=1\) và \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=2\). Áp dụng BĐT B.C.S, ta được \(P=\dfrac{a^4}{ba^2+a^2}+\dfrac{b^4}{ab^2+b^2}\) \(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{ba^2+ab^2+a^2+b^2}=\dfrac{2^2}{ab\left(a+b\right)+2}\ge\dfrac{4}{1.2+2}=1\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Vậy GTNN của P là 1 khi \(a=b=1\)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(a+2b\ge3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{3a^2+a^2b+\dfrac{9}{2}ab^2+\left(8+a\right)b^3}{ab}\)
Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn a + b = ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 a 2 + 2 a + 1 b 2 + 2 b + 1 + a 2 1 + b 2
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ 1 + a b = 1 + a + b (1)
Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
1 x + 1 y ( x + y ) ≥ 2 1 x . 1 y .2 x y = 4 ⇒ 1 x + 1 y ≥ 4 x + y (2)
Áp dụng (1) và (2) ta có:
P ≥ 4 a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + 1 + a + b = 4 a 2 + b 2 + 2 a b + 1 + a + b = 4 ( a + b ) 2 + a + b 8 + 7 ( a + b ) 8 + 1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
a + b = a b ≤ ( a + b ) 2 4 ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4 ( a + b ) ⇒ a + b ≥ 4
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
4 ( a + b ) 2 + a + b 16 + a + b 16 ≥ 3 4 ( a + b ) 2 . a + b 16 . a + b 16 3 = 3 4 ⇒ P ≥ 3 4 + 7 8 .4 + 1 = 21 4
Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4
câu1:
a) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
P=\(\frac{ab+bc+ca-abc}{a+2b+c}\)
b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(^{a^2+b^2+c^2=1}\)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =ab +bc + ca .
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}\)
cho hai số dương a và thỏa mãn a*b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=1/a + 1/b +2/a+b
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)và \(x+y\ge2.\sqrt{xy}\)( dấu ''='' xảy ra ở 2 bđt này khi x=y )
Ta có \(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{2}{a+b}=\frac{6}{a+b}\)
\(=\frac{6}{a+b}+\frac{3\left(a+b\right)}{2}-\frac{3.\left(a+b\right)}{2}\ge2\sqrt{\frac{6}{a+b}.\frac{3\left(a+b\right)}{2}}-\frac{3.2.\sqrt{ab}}{2}\)
\(=2\sqrt{9}-3.\sqrt{ab}=6-3=3\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{6}{a+b}=\frac{3.\left(a+b\right)}{2}\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{6}{2a}=\frac{3.2a}{2}\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}12a^2=12\\a=b\\a.b=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=1\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{a\left(b^2+bc+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+ca+a^2\right)}+\dfrac{1}{c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac≤1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P= \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
Cho hai số thực a,b thỏa mãn a>b và ab=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{a^2+b^2}{a-b}\)
Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.
A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)
suy ra A>=4.
Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b
Xét Q^2=(a^2+b^2)^2/(a-b)^2.Đặt a^2+b^2=x thì (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=x-4.Do a>b nên x-4>0.
A^2=x^2/x-4=(x^2-16)/x-4+16/(x-4)=x+4+16/x-4=x-4+16/(x-4)+8>=8+8=16(dùng Cô-si cho 2 số)
suy ra A>=4.
Dấu =xảy ra khi x-4=16(x-4)>>>x-4=4>>>x=8>>>a-b=2 và a+b=2 căn 3 >>>tìm ra a và b
k cho mk nha $_$
bạn ghi rõ hơn mình xem đc ko